ભારત અને ગણિતશાસ્ત્ર – પ્રાચીનથી અર્વાચીન

બ્રહ્માંડ દર્શન -ડૉ. જે. જે. રાવલ

(ભાગ-૨)
પ્રાચીન ભારતીય ઋષિ – મુનીઓને ભૂમિતિનું સારું જ્ઞાન હતું. તેઓ યજ્ઞ માટે અલગ અલગ પ્રકારની વેદીઓ કરતા હતા, શ્રીચક્રો બનાવતાં હતાં. ભૂમિતિ, જિઓમિત્રી ત્રિકોણમિતી (ટ્રીગોનોમેટ્રી) ભૂગોળ એવાં નામો જ તેમણે આપેલાં હતાં. પૃથ્વી ગોળ છે તે તેમને ૭૦૦૦ વર્ષ પૂર્વે ખબર હતી. બીજી બાજુ થાલીમે, પાયથાગોરસ અને યુક્લિડ જેવા ગ્રીક ગણિતજ્ઞોએ પણ ભૂમિતિના પ્રમેયો સાબિત કરી ભૂમિતિને વિકસાવી હતી. ઈસુ પૂર્વેની ત્રીજી સદીમાં થયેલા ગ્રીક ગણિત વિદ્વાન યુક્લિડે તેના સમય સુધી ગ્રીક ગણિત વિદ્વાનોએ વિકસાવેલી ભૂમિતિના બધા જ સત્યો, પ્રમેયો, ધારણાઓ, વ્યાખ્યાઓ અને સિદ્ધાંતો વગેરેનું સંપાદન કર્યું જેને આપણે યુક્લિડની ભૂમિતિ કહીએ છીએ. યુક્લિડીઅન જીઓમેટ્રી કહીએ છીએ. યુક્લિડીઅન ભૂમિતિ સપાટ સપાટીની ભૂમિતિ છે. પ્લેઈન જીઓમેટ્રી (Plane Geometry) છે. સપાટ અંતરિક્ષમાં દોરાતી ભૂમિતિ છે. તે વાંકી-ચૂકી સપાટી પર દોરાતી ભૂમિતિ નથી. તે પૃથ્વીના ગોળા પર દોરાતી ભૂમિતિ નથી. તેમાં બે સમાંતર રેખાઓ હંમેશાં સમાન્તર જ રહે છે, તે બંનેને ગમે તેટલી દૂર સુધી લંબાવો. ગણિતવિદો ગૉસ, રીમાન, બોલ્યાઈ, ચેબોસ્કોવીચ જેવા વિદ્વાન ગણિતશાસ્ત્રીઓએ નિરિક્ષણ કર્યું કે શું બે સમાન્તર રેખાઓ સપા સપાટી પર તો સમાન્તર રહે, તેમને ગમે તેટલી આગળ લંબાવો પણ ખડબચડી સપાટી પર તેમનું શું થાય? ગોળા પર કે અશ્ર્વના પલાણ (સેડલ, saddle) પર તેમનું શું થાય? યુક્લિડનું એક પ્રમેય છે કે બહારના બિન્દુમાંથી એક રેખાને લંબ દોરો તો તે લંબ એક માત્ર અને એક જ હોય. ર્ગાસ જેવા ગણિતજ્ઞોએ શંકા કરી કે શું આ સાચું છે? શું બહારના બિન્દુમાંથી રેખા પર માત્ર એક જ લંબ દોરી શકાય? કેટલાય લંબો દોરી ન શકાય? આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે ગાડીના પાટા આપણે ઊભા હોઈએ ત્યાં બરાબર સમાન્તર હોય છે, પણ દૂર દૂર તે જોઈએ તો મળતા લાગે છે. વળી ત્યાં જઈને જોઈએ તો વળી પાછા સમાન્તર લાગે છે, અને ત્યાંથી વળી પાછા દૂર દૂર જોઈએ તો વળી પાછા તે એકબીજાને મળતા લાગે છે. તો આ શું છે? પૃથ્વીના ગોળા પર ઉત્તર ધ્રુવ બિન્દુમાંથી ઉદ્ભવ પામતાં બે રેખાંશો (Longitudes)ને પૃથ્વીના વિષુવવૃત્ત પર પડવા દઈએ તો તે બંને વિષુવવૃત્ત સાથે ૯૦ અંશના ખૂણા બનાવે છે, તે બંને કાટખૂણા બનાવે છે, માટે તે બંનેનો સરવાળો ૧૮૦ અંશ થાય. યુક્લિડની ભૂમિતિમાં એક પ્રમેય છે કે બે સમાન્તર રેખાને એક રેખા છેદે તો તેની એકબાજુના ખૂણાઓનો સરવાળો ૧૮૦ અંશ થાય. આ પ્રમેય પ્રમાણે બે રેખાંશવૃત્તો એકબીજાને સમાન્તર છે, પણ એ બે રેખાંશવૃત્તો ધ્રુવ બિન્દુમાં તો મળે છે, તો તે બે સમાન્તર કેવી રીતે હોઈ શકે? વળી પાછું યુક્લિડની ભૂમિતિ પ્રમાણે ત્રિકોણના ત્રણેય ખૂણાઓનો સરવાળો ૧૮૦ થાય પણ ગોળા પર વિષુવવૃત્ત તેની એક બાજુ હોય અને બે રેખાંશવૃત્ત તેની બે બાજુ હોય તેવા ત્રિકોણના ત્રણેય ખૂણાઓનો સરવાળો ૧૮૦ અંશથી વધારે જ હોય. ઘોડાના પલાણ પર એ સમાન્તર રેખાઓ દોરવા જઈએ તો તે એકબીજાથી દૂર ભાગે. આ બધું દર્શાવે છે કે યુક્લિડની ભૂમિતિ માત્ર સપાટ સપાટીની જ ભૂમિતિ છે. જો આપણે ગોળો, નળાકાર, ઘોડાનું પલાણ લઈને યુક્લિડની ભૂમિતિનો ઉપયોગ કરીએ તો તે સાચાં પરિણામો આપે નહીં. માટે સપાટ સપાટી સિવાયની બીજી બધી સપાટીઓ પર યુક્લિડની ભૂમિતિ પરિણામો આપવા નિષ્ફળ બને છે. માટે નવી ભૂમિતિ શોધવી જરૂરી છે. એ ભૂમિતિને યુક્લિડી અંતર ભૂમિતિ. તેને અંગ્રેજીમાં નોન-યુક્લિડીઅન Non-Euclidean) ભૂમિતિ કહે છે. તેના જનક ઉપરોક્ત બતાવેલા મહાવિદ્વાન ગણિતશાસ્ત્રીઓ હતાં. એનું નામ બ્રેક થ્રુ શોધ ગણાય. તે માત્ર નવું જ સંશોધન જ નહીં પણ બ્રેક થ્રુ સંશોધન ગણાય.

એક વાટકો કે બાઉલ કે લોટો લો અને તેના મુખ પર સળિયો મુકો એટલે કે માપપટ્ટી (measurign tape) મુકો તો તે માત્ર કાંઠાના બે બિન્દુને જ સ્પર્શે અને તે તેના માપનમાં કહે કે વાટકો, નળાકાર, બાઉલ કે લોટો એ જ બિન્દુઓ છે, પણ જ્યારે માપપટ્ટીને વાટકાની અંદરની સપાટીમાં વાળો તો તે વાટકાનું સાચું માપ દર્શાવે. આમ યુક્લિડી અંતર (નોન-યુક્લિડીઅન) ભૂમિતિમાં મેઝેરિંગ ટેઈપ ગમે તેવી વાંકી-ચૂંકી સપાટીનું માપન કરે, તે સપાટ સપાટીમાં સપાટ રહીને માપન કરે.

તો આ ખરબચડી સપાટીમાં માપન કેવી રીતે કરવું? એ પ્રશ્ર્ન ઉપરોક્ત ગણિતશાસ્ત્રીના સામે આવ્યો. તેમણે આ પ્રશ્ર્ન નાના નાના ભાગની મદદથી ઉકેલ્યો. નાનો ભાગ dxલઈને સપાટીમાં માપન કર્યું. એટલે કે બે – પરિમાણવાળી ભૂમિતિમાં તે dr2 = dx2 + dy2 થાય અને ત્રણ પરિમાણવાળી ભૂમિતિમાં તે dr2 = dx2 + dy2 + dz2 થાય. આ સૂત્રો કોઈ પણ સપાટી પર બે બિન્દુઓનું અંતર માપે તે વાટકાની કિનારીએથી (કાંઠાથી) માંડી વાટકાની અંદરના ભાગને પણ માપે.

આ ભૂમિતિ તેને વિજ્ઞાનીઓ (differential geomatry) ડિફન્સીઅલ જીયોમેટ્રી કહે છે. આ ભૂમિતિને નોન-યુક્લિડીઅન (યુક્લિડીએન્ટ) ભૂમિતિ કહે છે. આ છેવટે તો બૌધાયન – પાયથાગોરસ પ્રમેય (સૂત્ર) પર જ આધાર રાખે છે.

યુક્લિડી અંતર ભૂમિતિનો નાનો ભાગ (dx2)) તો સપાટ જ હોય છે. તેમાં યુક્લિડ ભૂમિતિના બધા જ પ્રમેયો સાચા ઠરે છે. જ્યારે તે ભાગ વિશાળ પાયે ત્યારે જ તે બીજો માર્ગ ગ્રહણ કરે છે. આપણી પૃથ્વી ગોળ છે પણ આપણે તેના નાના ભાગ ઉપર ઊભા હોઈએ છીએ માટે તે સપાટ લાગે છે. આપણે રોડ જોઈએ તો તે સપાટ જ લાગે પણ હકીકતમાં આપણે ગોળા પર આપણી મોટર ચલાવતા હોઈએ છીએ. એમને એમ ચાલ્યા જઈએ તો વળી પાછા આપણે મૂળ બિન્દુ પર આવી શકીએ. હકીકતમાં પૃથ્વી પર મોટર કાર ચલાવતા વચ્ચે પહાડો, નદીઓ, સમુદ્રો આવે માટે આપણે સીધા રસ્તે ચાલી શકીએ નહીં. આકાશમાંથી કોઈ બીજો માણસ આપણને કાર ચલાવતા જોવે તો તે કહે કે આપણી કાર તો વર્તુળ પર ચાલે છે. સ્થાનિક રીતે (locally) પૃથ્વી સપાટ છે પણ જાગતિક રીતે (globally) તે દડા જેવી ગોળ છે. આમ કોઈ વસ્તુના સ્થાનિકરૂપ અને વૈશ્ર્વિકરૂપ સરખાં હોતા નથી તે અલગ અલગ પડે છે. સ્થાનિક રીતે નોન-યુક્લિડીઅન ભૂમિતિ યુક્લિડીઅન ભૂમિતિ છે, વૈશ્ર્વિક રીતે નહીં. એટલે કે યુક્લિડની ભૂમિતિ સ્થાનિક રીતે યુક્લિડી અંતર ભૂમિતિનો ભાગ છે. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો યુક્લિડી અંતર ભૂમિતિ સ્થાનિક રીતે યુક્લિડીઅન છે. આ યુક્લિડી અંતર અને યુક્લિડીઅન ભૂમિતિનો સંબંધ છે. આ જ વસ્તુનો લોકલ-વ્યૂ અને ગ્લોબલ-વ્યૂ (વૈશ્ર્વિક-વ્યૂ) વચ્ચે સંબંધ છે.
(ક્રમશ:)