ભારત અને ગણિતશાસ્ત્ર – પ્રાચીનથી અર્વાચીન ગણિતશાસ્ત્રી શ્રીનિવાસ રામાનુજનને અર્પણ

બ્રહ્માંડ દર્શન -ડૉ. જે. જે. રાવલ

આપણે ચંદ્રને જોઈએ તો તે કેટલો પૂર્ણ ગોળાકાર સુંદર લાગે છે. તે ચંદ્રનો ગ્લોબલવ્યૂ છે. હકીકતમાં તે પૂર્ણ ગોળાકાર નથી પણ ઝીક-ઝેક છે. તેના પર ઊંચા પહાડો અને ઊંડી ખીણો છે. તે હકીકતમાં કૂબડો છે. એ તો સૂર્યના પ્રકાશને લીધે પ્રકાશે છે. તેવું જ પૃથ્વીનું છે. પહાડો દૂરથી કેવા સુંદર શંકુ આકારના કે પિરામિડ આકારના દેખાય છે. તે તેમનો ગ્લોબલવ્યૂ છે. હકીકતમાં તેઓ પણ ખાડા ટેકરા અને પથ્થરાનાં બનેલાં છે. તે તેમનો લોકલવ્યૂ છે. અમુક સાધુઓ દૂરથી કેટલા મહાન લાગે છે, લોકો તેમને પૂજે છે, આદર આપે છે. તે તેમનો ગ્લોબલવ્યૂ છે. જ્યારે તેમના ભોપાળા બહાર આવે છે ત્યારે ખબર પડે છે કે તેઓ તો શેતાન છે. આ તેમનો લોકલવ્યૂ છે. એક્ટ્રેસો દૂરથી સુંદર મુખવાળી દેખાય છે. તે તેમનો ગ્લોબલવ્યૂ છે. જો કે ખૂબ નજીક જઈને તેમનું મુખ જોવાય નહીં, પણ જો તેમ કરી શકીએ તો ખબર પડે કે તેમના મુખ પર તો કેટલાય કાળા તલ છે. આ તેમનો લોકલવ્યૂ છે. ગણિકાનું મુખ પણ દૂરથી સુંદર લાગે. તે તેમનો ગ્લોબલવ્યૂ છે. નજીક જઈએ તો ખબર પડે કે તે કેટલું ગંદું છે. આ તેમનો લોકલ-વ્યૂ છે. બધા જ જાણે છે કે મોટી વ્યક્તિની નજીકમાં કોઈ મહાન બન્યું નથી, કારણ કે તે તેમ થવા જ ન દે. તે મહાન વ્યક્તિનો લોકલ-વ્યૂ છે. તેમની નજીકમાં જાવ તો ખબર પડે, પણ દૂરથી લોકો તેની પ્રશંસા કરતા થાકે નહીં. તે તેમનો ગ્લોબલ-વ્યૂ છે. વડના ઝાડની નીચે બીજા નાના નાના છોડ અને ઝાડવા પાંગળે નહીં, વિકસે નહીં. તે વડનો લોકલ-વ્યૂ છે પણ દૂરથી તે શાનદાર દેખાય.

આમ કહેવાનું એ છે કે વસ્તુને બે વ્યૂ હોય છે, લોકલ-વ્યૂ (સ્થાનિક દેખાવ) અને બ્રહ્માંડમાં પદાર્થ પર ગુરુત્વાકર્ષણનું બળ (ગ્રેવિટેશનલ ફોર્સ, Gravitational Force) લાગે છે જે પ્રવેગ ઉત્પન્ન કરે છે, માટે તે નોન-યુક્લિડીઅન ભૂમિતિને અનુસરે. વાંકી-ચૂંકી સપાટી પર ચાલવા માટે તેનું વર્ણન કરવા માટે નોન-યુક્લિડીઅન ભૂમિતિની જરૂર પડે. માટે જ આઈન્સ્ટાઈને પદાર્થની ગતિ જો એકધારી ચાલે અને એક જ દિશામાં હોય તો તેનું વર્ણન કરવા જે ગતિશાસ્ત્ર ઉત્પન્ન કર્યું તેને આપણે આઈન્સ્ટાઈનનો વિશિષ્ટ સાપેક્ષવાદ (Special Theory of Relativity) કહીએ છીએ. જે યુક્લિડીઅન ભૂમિતિને અનુસરે છે, જેને વિજ્ઞાનીઓ ઈનર્શીયલ ફ્રેઈમ ઓફ રેફરન્સ – બદલવાની ઈચ્છા ન ધરાવતું સંદર્ભ માળખું કહે છે. ઈનર્શીયલ ફ્રેઈમમાં પદાર્થ કે પદાર્થકણ તેની પરિસ્થિતિ બદલવા તૈયાર નથી. આ બ્રહ્માંડની વસ્તુનો અભિગમ છે. પ્રવેગની સ્થિતિનું વર્ણન કરવા જે ગતિશાસ્ત્ર ઉત્પન્ન થયું તેને આપણે આઈન્સ્ટાઈન ગ્લોબલ-વ્યૂ (જાગતિક કે વૈશ્ર્વિક દેખાય) તેવી જ રીતે ભૂમિતિને પણ બે દેખાવો છે, બે પરિસ્થિતિ છે, બે વ્યૂ છે, એક લોકલ વ્યૂ જેને આપણે યુક્લિડીઅન જિયોમેટ્રી કહીએ છીએ જે સપાટ સપાટીને લાગુ પડે છે અને બીજો ગ્લોબલ-વ્યૂ જે તેનો વૈશ્ર્વિક દેખાવ છે, વૈશ્ર્વકરૂપ છે, જે કોઈ પણ સપાટીને લાગુ પડે છે. તેને આપણે નોન-યુક્લિડીઅન જિયોમેટ્રી (યુક્લિડીએતર ભૂમિતિ) કહીએ છીએ. આ નોન -યુક્લિડીઅન જિયોમેટ્રી એ વિસ્તૃત ભૂમિતિ છે.

જો પદાર્થ કે પદાર્થકણ એક જ ગતિએ સીધી રેખામાં ચાલે તો તે યુક્લિડીઅન ભૂમિતિ જ અનુસરે પણ જો પદાર્થ કે પદાર્થકણની ગતિની દિશા બદલાય કે તેની ગતિ બદલાય તો તે યુક્લિડીએતર (નોન-યુક્લિડીઅન ) ભૂમિતિ અનુસરે, પણ વિસ્તૃત સાપેક્ષવાદ (General Theory Relativity) કહીએ છીએ જે નોન-યુક્લિડીઅન ભૂમિતિને અનુસરે છે જેને આપણે નોન-ઈનર્શીયલ ફ્રેઈમ ઑફ રેફરન્સ કહીએ છીએ, ગમે ત્યારે અને ગમે ત્યાં બદલાતું સંદર્ભ ચોકઠું. આમ ભૂમિતિ ફિઝિક્સ બની જાય છે. આડા-અવળા લીટા – રેખાઓ ભૌતિકશાસ્ત્ર બની જાય છે. ન્યૂટનનું ગતિશાસ્ત્ર યુક્લિડીઅન ભૂમિતિને અનુસરે છે જે આઈન્સ્ટાઈનના ગતિશાસ્ત્રનું લોકલરૂપ છે, ઈનર્શીયલ ફ્રેઈમનું વર્ણન કરે છે, વિશિષ્ટ સાપેક્ષવાદનું વર્ણન કરે છે જેમ યુક્લિડીઅન ભૂમિતી નોન-યુક્લિડીઅન ભૂમિતિ જે આઈન્સ્ટાઈનના વિસ્તૃત સાપેક્ષવાદના ગતિશાસ્ત્રનું વર્ણન કરે છે તેનું સ્થાનિકરૂપ (લોકલ-વ્યૂ) છે. આમ યુક્લિડીઅન ભૂમિતિ ન્યૂટનના ગતિશાસ્ત્રનું વર્ણન કરે છે, જે આઈન્સ્ટાઈનનો વિશિષ્ટ સાપેક્ષવાદ છે, અને તેની સાથે જોડાયેલી છે અને નોન-યુક્લિડીઅન ભૂમિતિ આઈન્સ્ટાઈનના વિસ્તૃત સાપેક્ષવાદ (ગતિશાસ્ત્ર) સાથે જોડાયેલી છે. યુક્લિડીઅન ભૂમિતિ ન્યૂટનનું ગતિશાસ્ત્ર (વિશિષ્ટ સાપેક્ષવાદ) અને નોન-યુક્લિડીઅન ભૂમિતિ આઈન્સ્ટાઈનનું ગતિશાસ્ત્ર (વિસ્તૃત સાપેક્ષવાદ).

નોન-યુક્લિડીઅન ભૂમિતિનું સ્થાનિકરૂપ (લોકલ-વ્યૂ) યુક્લિડીઅન ભૂમિતિ આઈન્સ્ટાઈનના ગતિશાસ્ત્રનું સ્થાનિક રૂપ (લોકલ-વ્યૂ) ન્યૂટનનું ગતિશાસ્ત્ર. જે નોન-યુક્લિડીઅન ભૂમિતિ અને યુક્લિડીઅન ભૂમિતિનો સંબંધ છે તેવો આઈન્સ્ટાઈનના સાપેક્ષવાદના ગતિશાસ્ત્ર અને ન્યૂટનના ગતિશાસ્ત્રનો સંબંધ છે. નોન-યુક્લિડીઅન ભૂમિતિ એ યુક્લિડીઅન ભૂમિતિનું વિસ્તૃત સ્વરૂપ છે તેમ આઈન્સ્ટાઈનના સાપેક્ષવાદનું ગતિશાસ્ત્ર, ન્યૂટનના ગતિશાસ્ત્રનું વિસ્તૃત સ્વરૂપ છે.

ગણિતશાસ્ત્રના શબ્દોમાં કહીએ તો યુક્લિડીઅન ભૂમિતિ એ નોન-યુક્લિડીઅન ભૂમિતિનો સબ-સેટ (Sub-set)ં છે એટલે કે નોન-યુક્લિડીઅન ભૂમિતિ યુક્લિડીઅન ભૂમિતિનો સુપરસેટ (Super-set)ં છે. તેવી જ રીતે ન્યૂટનનું ગતિશાસ્ત્ર એ આઈન્સ્ટાઈનના ગતિશાસ્ત્રનું સબસેટ છે, એટલે કે આઈન્સ્ટાઈનનું ગતિશાસ્ત્ર, ન્યૂટનના ગતિશાસ્ત્રનનો સુપરસેટ છે.
લોકલી બંને એક છે ગ્લોબલી અલગ છે. જેમ યુક્લિડીઅન ભૂમિતિ, નોન-યુક્લિડીઅન ભૂમિતિનું સ્થાનિકરૂપ છે તેમ ન્યૂટનનું ગતિશાસ્ત્ર એ આઈન્સ્ટાઈનના ગતિશાસ્ત્રનું સ્થાનિકરૂપ છે.
આપણા વેદોમાં ઋષિઓએ કહ્યું છે કે આનો ભદ્રા: ક્તવો યન્તુ વિશ્ર્વત: મને દરેક દિશામાંથી ઉમદા વિચાર પ્રાપ્ત થાઓ, તેમ આમ પાણીનાં ચોસલા પાડી શકાય નહીં, અંતરીક્ષના ચોસલા પાડી શકાય નહીં, સાહિત્યના ચોસલા પાડી શકાય
નહીં, ગુરુત્વાકર્ષણના ચોસલા પાડી શકાય નહીં, તેમ જ્ઞાનના પણ ચોસલા પાડી શકાય નહીં તે અર્થ વેદના સૂત્ર આનો ભદ્રા: ક્તવો યન્તુ વિશ્ર્વત: નો છે.

તર્કશાસ્ત્ર પણ ગણિતશાસ્ત્રનો જ ભાગ છે. યોગ અને વિયોગ પણ ગણિતશાસ્ત્રનો જ ભાગ છે.

બીજગણિતનું પ્રથમ સરળ સમીકરણ શોધનાર આર્યભટ હતા. ભૂમિતિ એ બીજગણિતનું દૃશ્યરૂપ છે. કોઈ પણ સરળ સમીકરણ (Linear equation)) રેખાને પ્રદર્શિત કરે છે. તે સમીકરણ ભલેx-2=0 કે 2x+3y+5=0 હોય તે રેખાને પ્રદર્શિત કરે છે. તેનું વિસ્તૃત સ્વરૂપ ax+b=0 કે ax+by+c=0 છે.

આખરમાં બીજગણિતનું સરળ સમીકરણ શું પ્રદર્શિત કરે છે? તેનો ફિઝિકલ મિનીંગ ((Physical Meaning) ભૌતિકશાસ્ત્રીય અર્થ શું છે? તે ન્યૂટનનો પ્રથમ નિયમ પ્રદર્શિત કરે છે. જો કોઈ વસ્તુ સ્થિર હોય તો સ્થિર રહે છે અને જો તે એક રેખામાં એક જ ગતિએ ચાલતી રહે અને જો તેના પર કોઈ પણ પ્રકારનું પરિણામ બળ ન લાગે તો તે રેખામાં સતત ચાલતી રહે. આમ રેખાનું સમીકરણ ન્યૂટનના પ્રથમ નિયમને અનુસરે છે. જેવું તેની પર કોઈ પરિણામી બળ લાગવા માંડે કે તરત જ તે તેની રેખાની ગતિને છોડી દે છે અને કોઈ વક્ર પર ચાલવા લાગે છે જેનું સમીકરણ દ્વિઘાત સમીકરણ હોય છે, જેવું કેx2+y2=r2, વર્તુળ કે દીર્ઘવર્તુળ કે પેરાબોલા (પરિવલય) કે હાયપરબોલા (અતિ પરિવલય) કે કોઈ પણ વક્ર બને છે.

જોવાનું એ છે કે દ્વિઘાત સમીકરણના શોધક પણ બ્રહ્મગુપ્ત અને ભાષ્કરાચાર્ય હતા. આ આપણી ગણિતશાસ્ત્રની શોધ હતી. ગણિતશાસ્ત્ર અને ખગોળશાસ્ત્રનો જન્મ જ ભારતમાં થયો છે. ચંડીપાઠ પ્રથમમ્ શૈલપુત્રીની, દ્વિતીયમ્ બ્રહ્મચારિણી વગેરે ગણિતની ગણતરી ભારતમાં હજારો વર્ષ પૂર્વે થઈ હતી.

તેમ છતાં સત્તરમી સદીનાં દેકાર્તે સંદર્ભ ચોકઠું x-axis, y-axis, r-axis શોધીને કમાલ કરી નાંખી. તેને પૂરા બ્રહ્માંડને સંદર્ભ ચોકઠામાં પૂરી દીધું. તે પહેલા વિજ્ઞાનીઓ કોણીયમાપનr, q, f કરતા હતાં.r = = અંતર છે,q, xy – planeમાં બનતો ખૂણો છે અને ¡ f xy plane સાથે પદાર્થકણનો ખૂણો છે, પતંગનો ખૂણો છે, ચંદ્ર, સૂર્ય, ગ્રહ, તારાની જગ્યા દર્શાવતા પેરામીટર છે. દેકાર્ત આખી જિંદગી બીમાર રહ્યો પણ ગણિતની સરળ પણ મહાન શોધ કરીને ગયો. તેવું જ ડાર્વિનનું હતું અને ગરીબ રામાનુજનનું હતું. (ક્રમશ:)