બ્રહ્માંડની યુક્લિડીએતર (નોન-યુક્લિડીઅન) ભૂમિતિને તાદૃશ્ય કરતું નેહરુ સેન્ટરનું ટાવર

ઉત્સવ

બ્રહ્માંડ દર્શન-ડો. જે. જે. રાવલ

બ્રહ્માંડમાં બે પ્રકારની ભૂમિતી છે. એક યુક્લિડની સમતલ (પ્લેન પેપર) પર કે બૉર્ડ પર દોરાતી ભૂમિતી છે, બીજી બ્રહ્માંડમાં ગમે તે સપાટી પર દોરાતી ભૂમિતી છે, જેને યુક્લિડીએતર (નોન-યુક્લિડીઅન Non-Euclidean, ) કહે છે.
યુક્લિડની ભૂમિતીમાં બે સમાંતર રેખાઓને એક ત્રીજી રેખા છેદે તો એ છેદતી રેખાની એકબાજુના ખૂણાનો સરવાળો ૧૮૦ અંશ થાય. આ બે રેખાઓ કદી મળે જ નહીં.
સુરેખા (સ્ટ્રેટ લાઇન straight Line)ની વ્યાખ્યા છે બે બિન્દુ વચ્ચે ઓછામાં ઓછું અંતર. એ વાંકી છે કે સીધી એની સાથે એને કોઇ સંબંધ નથી, કુદરતમાં વસ્તુ સુરેખા (સીધી રેખા)ને અનુસરે છે. એ સીધી છે કે વાંકી તેની સાથે કોઇ મતલબ નથી.
જંગલમાં કે પૃથ્વી પર આપણે કેડી જોતા આવીએ છીએ. લોકો આ કેડી પર જ ચાલતા હોય છે. આ કેડી બે બિંદુઓ વચ્ચે ઓછામાં ઓછું અંતર હોય છે. કાટકોણ ત્રિકોણમાં તેની કર્ણની રેખા. (કાટકોણની સામેની રેખા) ઓછામાં ઓછું અંતર હોય છે.
એક પ્લેન પેપર લઇને તેની ઉપરની કિનારીને સમાંતર એક રેખા દોરીએ તો તે સુરેખા (straight Line) હોય છે, બે બિન્દુઓ વચ્ચે ઓછામાં ઓછું અંતર.
જયારે આ પ્લેન પેપરને નળાકારના રૂપમાં વાળી દઇએ તો ઉપરોક્ત રેખા વર્તુળ બની જાય છે. એટલે કે નળાકાર (cylinder) પર વર્તુળ સુરેખા (straight Line) છે. તમને એમ થાય કે નળાકાર પર વર્તુળ સુરેખા છે. હાં, નળાકાર પર વર્તુળ સુરેખા છે, કારણ કે નળાકાર પર તે બે બિંદુઓ વચ્ચે ઓછામાં ઓછું અંતર છે. વર્તુળ ભલે વક્ર હોય પણ તે નળાકાર પર સુરેખા છે, ઓછામા ઓછું અંતર છે.
હવે પ્લેન પેપર પર તેના સામસામેના ખૂણાને જોડતી રેખા (વિકર્ણ) દોરો અને પેપરને નળાકારના રૂપમાં વાળી દો તો એ વિકર્ણ નળાકાર પર સ્પાયરલ (spiral) બનાવશે. માટે નળાકાર પર સ્પાયરલ પણ સુરેખા છે. તેના કોઇપણ બે બિંદુઓ વચ્ચેનું અંતર ઓછામાં ઓછું હોય છે. માટે તે સુરેખા છે, સ્પાયરલ ભલે વાંકીચૂંકી હોય. નળાકારની ધરીને સમાંતર દોરેલી રેખા પણ સુરેખા- છે. આમ નળાકાર પર ત્રણ જાતની સુરેખા-બે બિંદુઓ વચ્ચે ઓછામાં ઓછું અંતર, હોય છે. એક નળાકારની ધરીને લંબ વર્તુળો, બીજી તેના સામસામેના બે ખૂણાઓને જોડતી રેખા (વિકર્ણ) સ્પાયરલ અને તેની ધરીને સમાંતર રેખા.
પ્લેન પેપર પર સુરેખા બે બિંદુઓ વચ્ચેનું ઓછામાં ઓછું અંતર હોય છે પણ નળાકાર ગોળો વગેરે વક્ર સપાટી પર બે બિંદુઓ વચ્ચેનું ઓછામાં ઓછું અંતર એટલે કે સુરેખા કોઇપણ વક્ર હોય છે વર્તુળ, દીર્ઘ વર્તુળ, પટવલય કે અતિપટવલય કે કોઇપણ જાતનો વક્ર (curve) હોઇ શકે છે.
કોઇપણ ગોળા પર કે પૃથ્વીના ગોળા પર ઉત્તરધ્રુવ અને દક્ષિણ ધ્રુવને જોડતું અર્ધવૃત્ત સુરેખા છે અને બે આવા રેખાંશવૃત્તો એકબીજાને સમાંતર છેે કારણ કે તેમને છેદતું વિષુવવૃત્તને તે બન્ને લંબ છે. એટલે કે આ બે વૃત્તોની એકબાજુના ખૂણાનો સરવાળો ૧૮૦ અંશ છે. પૃથ્વીના ગોળા પર રેખાંશવૃત્તો સમાંતર રેખાઓ છે, સમાંતર સુરેખાઓ છે, તેમ છતાં તે ધ્રુવબિંદુઓમાં મળે છે. આ રેખાઓ પર કોઇ પણ બે બિંદુઓ વચ્ચેનું અંતર ઓછામાં ઓછું હોય છે.
રેલના પાટા સ્થાનિકરીતે (ocally) સમાંતર હોય છે પણ દૂર દૂર જોઇએ તો તે મળતા દેખાય છે.
ઘોડાના પલાણ પર બે સમાંતર રેખાઓ એકબીજાથી દૂર જાય છે, (મશદયક્ષતિ થાય છે). આ યુક્લિડીએતર (નોન-યુક્લિડીઅને) ભૂમિતી છે. યુક્લિટીએતર ભૂમિતી સ્થાનિકરીતે યુક્લિડની ભૂમિતી છે પણ ગ્લૉબલી (વૈશ્ર્વિક રીતે) તે યુક્લિડની ભૂમિતી નથી. સ્થાનિકરીતે તે યુક્લિડ ભૂમિતીના બધા જ સિદ્ધાંતનું પાલન કરે છે પણ વૈશ્ર્વિકરીતે નહીં. યુક્લિડીએતર ભૂમિતી, યુક્લિડની ભૂમિતીનું વિસ્તૃતરૂપ છે. એટલે કે યુક્લિડીએતર ભૂમિતી પોતાનામાં યુક્લિડની ભૂમિતીને સમાવે છે.
યુક્લિડની ભૂમિતીમાં ત્રિકોણના ત્રણ ખૂણાનો સરવાળો ૧૮૦ અંશ જ થાય પણ યુક્લિડીએતર ભૂમિતીમાં તે ૧૮૦ અંશથી વધારે હોય અને ઓછો પણ હોય તે ભૂમિતી ગોળા પર છે કે ઘોડાના પલાણ પર છે તેના પર આધાર રાખે છે. યુક્લિડીએતર ભૂમિતી વૈશ્ર્વિકરીતે અલગ છે પણ સ્થાનિકરીતે તે યુક્લિડની ભૂમિતીના નિયમો અનુસરે છે.
ન્યુટનના નિયમોમાં ત્રણ-ચાર ખામી દેખાય છે. તેથી ન્યુટનના ગતિશાસ્ત્રનો વિસ્તાર કરવા જરૂરી હતો. જે આઇન્સ્ટાઇને સમયને વિશ્ર્વનું ચોથું પરિમાણ લઇ કર્યો પણ તેની ભૂમિતી તો યુક્લિડની જ હતી. જેને આપણે આઇન્સ્ટાઇનનો વિશિષ્ટ સાપેક્ષ બાદ કહીએ છીએ. પણ બ્રહ્માંડમાં બધે જ ગુરૂત્ત્વાકર્ષણનું બળ લાગે છે માટ ભૂમિતી વક્ર બને છે, તે યુક્લિડની ભૂમિતી રહેતી નથી. માટે આઇન્સ્ટાઇનને બ્રહ્માંડનું વર્ણન કરવા વક્ર ભૂમિતી-યુક્લિડીએતર ભૂમિતીનો ઉપયોગ કરવો પડ્યો. જેને આપણે આઇન્સ્ટાઇનનો વિસ્તૃત સાપેક્ષ કહીએ છીએ
આઇન્સ્ટાઇ તેની વિસ્તૃત સાપેક્ષવાદમાં યુક્લિડીએતર ભૂમિતીનો ઉપયોગ કરે છે. જે બ્રહ્માંડની કોઇપણ સપાટી હોય-ક્ષેત્ર હોય તેનું માપ બરાબર કરે છે. જયાં કોઇપણ બળ લાગે છે, ત્યાં ભૂમિતી વક્ર બને છે, એટલે કે યુક્લિડીએતર (નોન-યુક્લિડીઅન) બને છે. આ યુક્લિડીએતર ભૂમિતીનો ઉપયોગ છે.
યુક્લિડીએતર ભૂમિતીનો કોણે પાયો નાંખ્યો જર્મન ગણિતશાસ્ત્રી, ભૌતિકશાસ્ત્રી અને ખગોળશાસ્ત્રી ગૉસે નિરીક્ષણ કર્યું કે પૃથ્વી પરનાં રેખાંશવૃત્તો સમાંતર દેખાયો છે, તેમ છતાં તેઓ ઉત્તરધ્રુવ બિંદુ અને દક્ષિણ ધ્રુવ બિંદુ પર મળે છે. આમ કેમ? તેને જોયું કે એક બહારના બિંદુમાંથી સુરેખા પર તો એક અને માત્ર એક જ લંબ દોરી શકાય છે. પણ આ તો યુક્લિડની પ્લેન (સમતલ) ભૂમિતી છે. ગોળા પર અને નળાકાર પર અલગ અને વધારે વિસ્તૃત ભૂમિતી હોવી જોઇએ. આમ નોન-યુક્લિડીઅન ભૂમિતીનો જન્મ થયો. આ નોન-ભૂમિતીને વિકસાવનાર ગૉસ અને તેના શિષ્યો રીમાન, બોસ્માઇ, લેબોઓવ્સ્કી, ક્રિસ્ટોફલ, ટીસી, લેવીસીવીર વગેરે ગણિતશાસ્ત્રીઓ હતા. આ ભૂમિતીનો આઇન્સ્ટાઇને ઉપયોગ કરી બૌધાયન-પાયથાગોરસના બે બિંદુ વચ્ચે ઓછામાં ઓછા અંતરના ચાર પરિમાણના સૂત્રને વિસ્તાર્યું. તે જ આઇન્સ્ટાઇનનો વિસ્તૃત સાપેક્ષવાદ. આ જે મીટર સ્કેલ, મેજેરીંગ, ટેઇપ બ્રહ્માંડની ગમે તેવી વક્રભૂમિતી હોય, તેને માપે છે. થાસીઝ, પાયથાગોરસ અને યુક્લિડે સમતલની ભૂમિતીનો વિકાસ કર્યો. ઉપરોક્ત ગણિતશાસ્ત્રીઓએ નોન-યુક્લિડીઅન ભૂમિતીનો વિકાસ કર્યો જે હાયર (ઉચ્ચ) ભૂમિતી છે. જે સ્થાનિકરીતે યુક્લિડીઅન ભૂમિતી છે. માટે જ સ્થાનિકરીતે પૃથ્વી વિશાળ ગોળો હોવા છતાં, સ્થાનિક રીતે આપણને તે સપાટ લાગે છે.
જો ઉપરોક્ત ગણિતશાસ્ત્રીઓએ નોન-યુક્લિડીઅન ભૂમિતીને ઉત્પન્ન કરી ન હોત તો આઇન્સ્ટાઇનનો વિસ્તૃત સાપેક્ષવાદ અસ્તિત્વમાં જ આવ્યો ન હોત-આઇન્સ્ટાઇન ભાગ્યશાળી હતા કે તેના માટે બ્રહ્માંડનું વર્ણન કરવા નોન-યુક્લિડની ભૂમિતીને ઉપરોક્ત ગણિતશાસ્ત્રીઓએ તૈયાર રાખી હતી.
જ્યારે ઉપરોક્ત ગણિતશાસ્ત્રીઓએ નોન-યુક્લિડીઅન ભૂમિતી ત્યારે તે માત્ર ગણિતશાસ્ત્રની-ભૂમિતીની માત્ર એક્સરસાઇઝ જ હતી, પ્યોર ગણિતશાસ્ત્ર, પ્યોરભૂમિતી જ હતી. પણ હવે તે ભૌતિકશાસ્ત્ર બની ગઇ આ ઘટનાએ દર્શાવ્યું કે પૂરું ગણિતશાસ્ત્ર, ભૌતિકશાસ્ત્ર જ છે. જેને વિજ્ઞાનીઓ જીઓમેટ્રાઝેશન ઓફ ગ્રેવીટેશન કહે છે, જીઓમેટ્રાઇઝેશન ઑફ ફિઝીક્સ કહે છે.
બીજ ગણિતનું રૈખિક સમીકરણ એક પરિમાણમાં બિંદુ રજૂ કરે છે અને હાયર પરિમાણમાં સુરેખા રજૂ કરે છે, અને ભૌતિકશાસ્ત્રમાં તે ન્યુટનનો પ્રથમ નિયમ રજૂ કરે છે કે જો કોઇ વસ્તુ પર પરિણામી બળ ન લાગે તો તે સ્થિર રહે છે, નહીં તો તે એકધારી ગતિથી ચાલ્યા જ કરે છે.
જ્યારે તેના પર કોઇપણ બળ લાગવા માંડે ત્યારે તે તેનો સુરેખાનો રસ્તો છોડી દે છે અને વર્તુળ, દીર્ઘવર્તુળ, પરવલય, અતિપરવલય કે કોઇ પણ જાતના વક્રને રસ્તે ગતિ કરવા લાગે છે. વસ્તુની સુરેખામાં ગતિ એટલે ક્ષેત્રમાં પરિણામી બળ શૂન્ય હોય છે અને કોઇ જાતના વક્રના
રસ્તે વસ્તુ ચાલે ત્યારે સમજવું કે તે ક્ષેત્રમાં કોઇક જાતનું બળ વસ્તુ પર લાગે છે.
વાટકા પર સીધો સળિયો રાખીએ તો તે વાટકાના કાંઠાના બે જ બિંદુઓને સ્પર્શે છે. એટલે કે મેજોરિંગ ટેઇપ આપણને કહે કે વાટકો બે જ બિંદુઓનો બનેલો છે. તે યુક્લિડની ભૂમિતી-પણ આપણે તે સળિયાને વાળીએ તો તે વાટકાની અંદરની સપાટીને સ્પર્શે અને તેનું બરાબર માપ આપે તે મેજોરિંગ ટેઇપ વાંકી હોય અને તે જ નોન-યુક્લિડીઅન જીઓમેટ્રી.
તમે નેહરુ સેન્ટરમાં જાવ અને તેના નળાકાર ટાવરને જુઓ તો જાણે તેના પર સ્યારલ આકાર છે પણ સ્થાનિકરીતે તેના ચોસલા સીધા છે. અહીં તમે નોન-યુક્લિડીઅન ભૂમિતીને જોઇ શકો છો. નેહરુ સેન્ટરના ટાવરના આર્કિટેક્ટ (સ્થપતિ) વિખ્યાત આર્કિટેક્ટ આઇ.એમ. કાદ્રીરી છે. બ્રહ્માંડમાં આર્કિટેકચરને તેઓએ નેહરુ સેન્ટરના ટાવરમાં દૃશ્યમાન કર્યું છે. હેટસ ઓફ ટુ યુ કાદ્રીરી સાહેબ સાથે એ ટાવરમાં બ્રહ્માંડની નોન-યુક્લિડીઅન જીઓમેટ્રીને દૃશ્યમાન કરી છે જે નોન-યુક્લિડીઅન ભૂમિતી અને આઇન્સ્ટાઇનના વિસ્તૃત સાપેક્ષવાદને સમજવા આ ક્ષેત્રના વિદ્યાર્થીઓને મોડેલ પૂરું પાડે છે, આ ભૂમિતી સમજવા મદદ કરે છે.

 

 

પ્રતિશાદ આપો

તમારું ઇમેઇલ સરનામું પ્રકાશિત કરવામાં આવશે નહીં.